Уравнение вида N(x,y)dx + M(x,y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах. Давайте разберем, почему это так.

Чтобы понять, что это за уравнение, нужно вспомнить понятие полного дифференциала функции двух переменных. Полный дифференциал функции z = f(x, y) выражается как:

• dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy

Если уравнение N(x,y)dx + M(x,y)dy = 0 можно записать в виде полного дифференциала, то оно будет иметь вид:

• (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = 0

Это означает, что функции N(x,y) и M(x,y) связаны с производными некоторой функции f(x, y), и уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Теперь разберем шаги, чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах:

1. Проверить условие равенства смешанных производных: ∂N/∂y = ∂M/∂x. Это условие гарантирует, что существует функция f(x, y), для которой N и M являются частными производными.
2. Если условие выполняется, то уравнение можно привести к виду полного дифференциала, и оно является уравнением в полных дифференциалах.
3. Если условие не выполняется, то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Таким образом, уравнение N(x,y)dx + M(x,y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если функции N(x,y) и M(x,y) связаны с частными производными некоторой функции f(x, y), и выполняется условие равенства смешанных производных.