Установите соответствие теоремы и ее формулировки:A. Теорема ФермаB. Теорема РолляC. Теорема ЛагранжаD. Теорема КошиE. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней; тогда f’(x0)...
Установите соответствие теоремы и ее формулировки:
A. Теорема Ферма
B. Теорема Ролля
C. Теорема Лагранжа
D. Теорема Коши
E. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней; тогда f’(x0) = 0
F. Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (а, б) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а) = f(b); тогда существует хотя бы одна точка с ∈(a, b),в которой производная f’(c) = 0
G. Пусть функции у = f(x) и у = g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (а, b),причем g´(x) ≠ 0 для х∈(a, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈(a, б) такая, что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g (a))= (f'(c))/(g'(c))
H. Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (а, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈(a, б) такая, что выполняется равенство f(б) – f(а) = f’(c)∙(b – a)
Чтобы установить соответствие между теоремами и их формулировками, давайте рассмотрим каждую теорему и её описание: 1. **Теорема Ферма**: Эта теорема утверждает, что если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то производная в этой точке равна нулю. Поэтому соответствие: **A - E**: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней; тогда f’(x0) = 0. 2. **Теорема Ролля**: Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри него и принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует хотя бы одна точка внутри отрезка, где производная равна нулю. Поэтому соответствие: **B - F**: Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (а, б) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а) = f(b); тогда существует хотя бы одна точка с ∈(a, b),в которой производная f’(c) = 0. 3. **Теорема Лагранжа** (теорема о среднем значении): Эта теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, то существует хотя бы одна точка внутри отрезка, где отношение изменения функции к изменению аргумента равно производной в этой точке. Поэтому соответствие: **C - H**: Пусть функция у = f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (а, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈(a, б) такая, что выполняется равенство f(б) – f(а) = f’(c)∙(b – a). 4. **Теорема Коши** (обобщение теоремы Лагранжа): Эта теорема утверждает, что если две функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы внутри него, причем производная одной из них не равна нулю, то существует хотя бы одна точка внутри отрезка, где отношение изменений функций равно отношению их производных. Поэтому соответствие: **D - G**: Пусть функции у = f(x) и у = g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (а, b),причем g´(x) ≠ 0 для х∈(a, b); тогда найдется хотя бы одна точка с ∈(a, б) такая, что выполняется равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g (a))= (f'(c))/(g'(c)). Таким образом, установленные соответствия: - A - E - B - F - C - H - D - G