В теореме Нэша утверждается, что всякая биматричная игра имеет хотя бы одну ситуацию равновесия в стратегиях. Это означает, что в любой игре, где два игрока выбирают свои стратегии одновременно, существует по крайней мере одна комбинация стратегий, при которой ни один из игроков не может улучшить свой результат, изменив свою стратегию в одностороннем порядке.

Давайте рассмотрим подробнее, что это значит и как это работает:

1. Определение биматричной игры:
   • Биматричная игра – это игра с двумя игроками, где каждый игрок имеет конечное число стратегий.
   • Каждой комбинации стратегий соответствует пара выплат (или выигрышей) для игроков.
2. Что такое равновесие Нэша:
   • Равновесие Нэша – это такая ситуация, в которой каждый игрок выбирает свою стратегию, учитывая стратегии других игроков.
   • При этом ни один игрок не может повысить свой выигрыш, изменив свою стратегию, если стратегии других игроков остаются неизменными.
3. Пример:
   • Предположим, у нас есть игра, где два игрока могут выбрать стратегию A или B.
   • Если игрок 1 выбирает A, а игрок 2 выбирает B, их выигрыши составляют (2, 1).
   • Если оба игрока выберут A, их выигрыши будут (1, 1).
   • В ситуации, когда игрок 1 выбирает A, а игрок 2 выбирает B, игрок 2 может улучшить свой выигрыш, изменив стратегию на A, так как он получит 1 вместо 0.
   • Таким образом, каждое равновесие Нэша будет представлять собой стратегию, из которой ни один игрок не захочет уходить.

Таким образом, теорема Нэша подчеркивает важность взаимозависимости стратегий игроков и показывает, что даже в сложных ситуациях можно найти стабильные состояния, где игроки не имеют стимула для изменения своих действий.