Для решения этой задачи, давайте сначала определим, что такое дискретная случайная величина X. В нашем случае X - это количество черных шаров, извлеченных из урны при вытаскивании 3 шаров.

В урне всего 4 белых и 3 черных шара, то есть всего 7 шаров. Мы будем рассматривать возможные значения X и соответствующие им вероятности.

Количество черных шаров, которые могут быть извлечены, может быть 0, 1, 2 или 3. Таким образом, возможные значения X:

• X = 0 (извлечены 0 черных шаров)
• X = 1 (извлечен 1 черный шар)
• X = 2 (извлечены 2 черных шара)
• X = 3 (извлечены 3 черных шара)

Теперь найдем вероятность каждого значения X, используя комбинаторику.

• P(X = 0): Извлечены 0 черных шаров, значит, все 3 шара белые. Количество способов выбрать 3 белых шара из 4:

C(4, 3) = 4

Общее количество способов выбрать 3 шара из 7:

C(7, 3) = 35

Следовательно, P(X = 0) = 4 / 35.

• P(X = 1): Извлечен 1 черный шар и 2 белых шара. Количество способов выбрать 1 черный шар из 3 и 2 белых шара из 4:

C(3, 1) * C(4, 2) = 3 * 6 = 18

Следовательно, P(X = 1) = 18 / 35.

• P(X = 2): Извлечены 2 черных шара и 1 белый шар. Количество способов выбрать 2 черных шара из 3 и 1 белый шар из 4:

C(3, 2) * C(4, 1) = 3 * 4 = 12

Следовательно, P(X = 2) = 12 / 35.

• P(X = 3): Извлечены 3 черных шара. Количество способов выбрать 3 черных шара из 3:

C(3, 3) = 1

Следовательно, P(X = 3) = 1 / 35.

Теперь мы можем записать ряд распределения:

• P(X = 0) = 4 / 35
• P(X = 1) = 18 / 35
• P(X = 2) = 12 / 35
• P(X = 3) = 1 / 35

Теперь найдем математическое ожидание E(X):

E(X) = Σ [x * P(X = x)]

• E(X) = 0 * (4 / 35) + 1 * (18 / 35) + 2 * (12 / 35) + 3 * (1 / 35)
• E(X) = 0 + 18/35 + 24/35 + 3/35 = 45/35 = 9/7.

Теперь найдем дисперсию D(X):

D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.

Сначала найдем E(X^2):

• E(X^2) = Σ [x^2 * P(X = x)]
• E(X^2) = 0^2 * (4 / 35) + 1^2 * (18 / 35) + 2^2 * (12 / 35) + 3^2 * (1 / 35)
• E(X^2) = 0 + 18/35 + 48/35 + 9/35 = 75/35 = 15/7.

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

• D(X) = 15/7 - (9/7)^2 = 15/7 - 81/49 = 105/49 - 81/49 = 24/49.

Среднеквадратическое отклонение σ(X) = √D(X):

• σ(X) = √(24/49) = √24 / 7 = 2√6 / 7.

Таким образом, мы нашли ряд распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X.