Формула Бернулли описывает вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A произойдет ровно m раз. Давайте разберем эту формулу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание переменных

• n - общее количество испытаний.
• m - количество успешных исходов (т.е. количество раз, когда событие A произошло).
• p - вероятность того, что событие A произойдет в одном испытании.
• q - вероятность того, что событие A не произойдет в одном испытании, где q = 1 - p.
• C(m, n) - биномиальный коэффициент, который показывает количество способов, которыми можно выбрать m успешных исходов из n испытаний.

Шаг 2: Формула Бернулли

Формула для вычисления вероятности P(n, m) выглядит следующим образом:

P(n, m) = C(n, m) * p^m * q^(n - m)

Где:

• C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!) - это биномиальный коэффициент, который показывает, сколько различных комбинаций из m успехов можно получить из n испытаний.
• p^m - это вероятность того, что событие A произойдет m раз.
• q^(n - m) - это вероятность того, что событие A не произойдет в оставшихся (n - m) испытаниях.

Шаг 3: Применение формулы

Теперь, когда мы понимаем компоненты формулы, давайте рассмотрим, как ее применять:

1. Определите общее количество испытаний n.
2. Установите, сколько раз событие A должно произойти (m).
3. Узнайте вероятность p, что событие A произойдет в одном испытании.
4. Вычислите q как 1 - p.
5. Вычислите биномиальный коэффициент C(n, m).
6. Подставьте все значения в формулу P(n, m) = C(n, m) * p^m * q^(n - m) и вычислите вероятность.

Пример

Предположим, мы проводим 5 испытаний (n = 5), и вероятность успеха p = 0.6. Мы хотим узнать вероятность того, что событие A произойдет 3 раза (m = 3).

1. Сначала вычисляем q: q = 1 - 0.6 = 0.4.
2. Вычисляем биномиальный коэффициент: C(5, 3) = 5! / (3! * (5 - 3)!) = 10.
3. Теперь подставляем в формулу: P(5, 3) = 10 * (0.6)^3 * (0.4)^(5 - 3).
4. Вычисляем: P(5, 3) = 10 * 0.216 * 0.16 = 0.3456.

Таким образом, вероятность того, что событие A произойдет 3 раза в 5 испытаниях, составляет 0.3456 или 34.56%.