Чтобы найти вертикальные асимптоты функции y = sin(x) / (x^2 + x), нужно определить, при каких значениях x функция не определена, то есть, где знаменатель равен нулю.

1. Запишем знаменатель:

g(x) = x^2 + x

2. Найдем корни уравнения g(x) = 0:

1. Решим уравнение x^2 + x = 0.
2. Вынесем x за скобки:
3. x(x + 1) = 0.
4. Теперь найдем корни:
• x = 0
• x + 1 = 0, следовательно, x = -1

Таким образом, мы нашли, что знаменатель равен нулю при x = 0 и x = -1. Это значит, что функция не определена в этих точках, и они потенциально могут быть вертикальными асимптотами.

3. Теперь проверим, является ли x = 0 и x = -1 вертикальными асимптотами:

• Для x = 0: Посмотрим на предел функции при x, стремящемся к 0.
• Для x = -1: Посмотрим на предел функции при x, стремящемся к -1.

4. Если предел функции стремится к бесконечности или минус бесконечности, то это подтверждает наличие вертикальной асимптоты.

5. Проверим пределы:

• lim (x -> 0) sin(x) / (x^2 + x) = lim (x -> 0) sin(x) / (0 + 0) = бесконечность (или минус бесконечность).
• lim (x -> -1) sin(x) / (0) = бесконечность (или минус бесконечность).

Таким образом, у нас есть вертикальные асимптоты в точках x = 0 и x = -1.

6. Проверим x = 2:

g(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6, что не равно нулю. Следовательно, x = 2 не является вертикальной асимптотой.

В итоге, вертикальными асимптотами функции y = sin(x) / (x^2 + x являются:

• x = 0
• x = -1