Для анализа поведения модуля погрешности решения задачи Коши, заданной уравнением у' = -2y + exp(3x) с начальным условием y(0) = 1.5 на отрезке [0, 10], мы можем следовать следующим шагам:

Задача Коши состоит из обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и начального условия. В нашем случае:

• Уравнение: у' = -2y + exp(3x)
• Начальное условие: y(0) = 1.5

Для решения данного уравнения можно использовать метод интегрирующего множителя или метод вариации постоянных. Однако, для оценки погрешности нам важно понимать, как ведет себя решение.

Модуль погрешности решения зависит от нескольких факторов, включая:

• Свойства правой части уравнения (в нашем случае это -2y + exp(3x)).
• Степень гладкости (постоянство производных) функции y.

Согласно теореме о существовании и единственности решений для ОДУ, если правая часть уравнения и её частные производные непрерывны, то решение существует и единственно в некоторой окрестности начальной точки. В данном случае, правая часть -2y + exp(3x) является непрерывной и гладкой.

Погрешность решения может быть оценена с помощью метода Рунге-Кутты или других численных методов, которые дают возможность оценить, как решение отклоняется от истинного. Если мы используем численные методы, то:

• С увеличением шага сетки (h) погрешность будет увеличиваться.
• С уменьшением шага сетки (h) погрешность будет уменьшаться.

Таким образом, модуль погрешности решения задачи Коши на отрезке [0, 10] будет зависеть от выбранного численного метода и шага сетки. Важно помнить, что для точного решения необходимо использовать достаточно малый шаг и учитывать поведение функции на рассматриваемом отрезке.