2025-08-04 03:52:02
Выберите верное утверждение
- Для неявной функции заданной уравнением F(х, у, z)=0 частную производную dz/dx можно найти по формуле dz/dx=dF/dx/dF/dz.
- Градиент функции u=f(x, y, z) в точке M0(x0; y0; z0) параллелен поверхности уровня функции u=f(x, y, z),проходящей через точку M0(x0; y0; z0).
- Нормаль к поверхности заданной уравнением z=f(x, y) в точке M0(x0; y0; z0) параллельна касательной плоскости к поверхности в этой же точке.
- Нормаль к поверхности заданной уравнением z=f(x, y) в точке M0(x0; y0; z0) имеет направляющий вектор (dz/dx, dz/dy, -1)
Другие предметыКолледжНеявные функции и градиентылинейная алгебрааналитическая геометриячастная производнаяградиент функциинормаль к поверхностикасательная плоскостьуравнение поверхностиуровень функцииколледж математикаматематические утверждения
2025-08-04 03:52:23
Давайте разберем каждое из предложенных утверждений и выясним, какое из них является верным.
- Первое утверждение: Для неявной функции, заданной уравнением F(x, y, z) = 0, частную производную dz/dx можно найти по формуле dz/dx = dF/dx / dF/dz.
Это утверждение верно. Мы используем правило неявной функции, которое позволяет находить производные для неявных функций. Если F(x, y, z) = 0, то частная производная z по x может быть найдена с помощью этой формулы. Это происходит потому, что мы можем рассматривать z как функцию от x и y, и применяя теорему о производной сложной функции, мы можем выразить dz/dx через производные F.
- Второе утверждение: Градиент функции u = f(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0) параллелен поверхности уровня функции u = f(x, y, z),проходящей через точку M0(x0, y0, z0).
Это утверждение также верно. Градиент функции в точке направлен в сторону наибольшего увеличения этой функции, и он перпендикулярен поверхности уровня, поэтому градиент будет перпендикулярен поверхности уровня, а не параллелен.
- Третье утверждение: Нормаль к поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) в точке M0(x0, y0, z0),параллельна касательной плоскости к поверхности в этой же точке.
Это утверждение неверно. Нормаль к поверхности всегда перпендикулярна касательной плоскости. Касательная плоскость касается поверхности в данной точке, а нормаль указывает направление, перпендикулярное этой плоскости.
- Четвертое утверждение: Нормаль к поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) в точке M0(x0, y0, z0),имеет направляющий вектор (dz/dx, dz/dy, -1).
Это утверждение верно. Нормаль к поверхности может быть представлена в виде вектора, который включает в себя производные функции f по x и y, а также -1, что соответствует изменению z. Вектор нормали (dz/dx, dz/dy, -1) действительно указывает направление, перпендикулярное поверхности.
Теперь, подводя итог, верными являются первые и четвертые утверждения. Однако, если нужно выбрать только одно, то правильнее будет выбрать первое утверждение, так как оно связано с нахождением производной, что является более основополагающим в контексте линейной алгебры и аналитической геометрии.
