Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Другие предметы Колледж Криволинейные интегралы вычисление криволинейного интеграла второй род примеры математический анализ колледж задачи по интегралам криволинейные интегралы обучение математике Новый

Криволинейный интеграл второго рода используется для вычисления интегралов по кривым векторных полей. Давайте рассмотрим основные шаги для вычисления такого интеграла и приведем примеры.

Определение:

Криволинейный интеграл второго рода по кривой C для векторного поля F = (P, Q) определяется как:

∫C (P dx + Q dy),

где P и Q - функции, определенные на некоторой области, содержащей кривую C.

Шаги для вычисления:

1. Параметризация кривой: Определите кривую C с помощью параметризации. Например, если кривая задается вектором r(t) = (x(t), y(t)), где t изменяется от a до b.
2. Подстановка: Замените dx и dy в интеграле через производные x(t) и y(t) по параметру t:
   • dx = x'(t) dt
   • dy = y'(t) dt
3. Запись интеграла: Подставьте выражения для P, Q, dx и dy в интеграл и получите интеграл по параметру t:
4. Вычисление интеграла: Вычислите полученный интеграл по t на интервале [a, b].

Пример 1:

Рассмотрим векторное поле F = (x^2, y^2) и кривую C, заданную параметрически: x(t) = t, y(t) = t^2, где t изменяется от 0 до 1.

1. Параметризация: x(t) = t, y(t) = t^2.
2. Находим производные: dx = dt, dy = 2t dt.
3. Подставляем в интеграл:

∫C (x^2 dx + y^2 dy) = ∫(0 до 1) (t^2 dt + (t^2)^2 (2t dt)) = ∫(0 до 1) (t^2 + 2t^5) dt.

4. Вычисляем интеграл:

∫(0 до 1) (t^2 + 2t^5) dt = [t^3/3 + (2/6)t^6] от 0 до 1 = (1/3 + 1/3) - 0 = 2/3.

Пример 2:

Рассмотрим векторное поле F = (y, x) и кривую C, заданную окружностью радиуса 1, центрированной в начале координат. Параметризация: x(t) = cos(t), y(t) = sin(t), где t изменяется от 0 до 2π.

1. Параметризация: x(t) = cos(t), y(t) = sin(t).
2. Находим производные: dx = -sin(t) dt, dy = cos(t) dt.
3. Подставляем в интеграл:

∫C (y dx + x dy) = ∫(0 до 2π) (sin(t)(-sin(t) dt) + cos(t)(cos(t) dt)) = ∫(0 до 2π) (-sin^2(t) + cos^2(t)) dt.

4. Вычисляем интеграл:

∫(0 до 2π) (cos^2(t) - sin^2(t)) dt = 0, так как интеграл от косинуса и синуса на полном периоде равен нулю.

Таким образом, мы рассмотрели основные шаги и примеры вычисления криволинейного интеграла второго рода. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!