Для вычисления циркуляции векторного поля a по заданному контуру L, сначала определим, что такое циркуляция. Циркуляция векторного поля вдоль контура L определяется как интеграл от векторного поля по этому контуру:

Циркуляция: C = ∮_L a · dr

Где dr – это элементарный вектор вдоль контура L. В нашем случае контур L задан уравнением x² + y² = 1 и z = 3. Это означает, что контур L является окружностью радиуса 1 на плоскости z = 3.

Теперь запишем векторное поле a:

a = (xz + y)i + (yz - x)j - (x² + y²)k

Подставим z = 3 в векторное поле a:

a = (x * 3 + y)i + (y * 3 - x)j - (x² + y²)k

a = (3x + y)i + (3y - x)j - (x² + y²)k

Теперь представим параметризацию контура L. Параметризуем окружность:

• x = cos(t)
• y = sin(t)
• z = 3

где t изменяется от 0 до 2π.

Теперь найдем элементарный вектор dr:

dr = (dx, dy, dz) = (-sin(t)dt, cos(t)dt, 0)

Теперь подставим параметризацию в векторное поле a:

a = (3cos(t) + sin(t))i + (3sin(t) - cos(t))j - (cos²(t) + sin²(t))k

Так как cos²(t) + sin²(t) = 1, то:

a = (3cos(t) + sin(t))i + (3sin(t) - cos(t))j - k

Теперь вычислим скалярное произведение a · dr:

a · dr = (3cos(t) + sin(t))(-sin(t)dt) + (3sin(t) - cos(t))(cos(t)dt) + (-1)(0)

a · dr = -(3cos(t)sin(t) + sin²(t))dt + (3sin(t)cos(t) - cos²(t))dt

a · dr = [-3cos(t)sin(t) - sin²(t) + 3sin(t)cos(t) - cos²(t)]dt

a · dr = [-sin²(t) - cos²(t)]dt

Так как sin²(t) + cos²(t) = 1, то:

a · dr = -1 dt

Теперь подставим это значение в интеграл для циркуляции:

C = ∮_L a · dr = ∫₀^2π -1 dt

C = -∫₀^2π dt = -[t]₀^2π = -[2π - 0] = -2π

Ответ: Циркуляция векторного поля a по контуру L равна -2π.