Вычислить циркуляцию векторного поля а =(xz+ y)i+(yz-x)j-(х2 + у2)k
L:x2+y2=1;z = 3
Другие предметы Колледж Циркуляция векторного поля векторное поле циркуляция математический анализ колледж интегралы параметры кривой трехмерная геометрия задачи по математике Новый
Для вычисления циркуляции векторного поля a по заданному контуру L, сначала определим, что такое циркуляция. Циркуляция векторного поля вдоль контура L определяется как интеграл от векторного поля по этому контуру:
Циркуляция: C = ∮L a · dr
Где dr – это элементарный вектор вдоль контура L. В нашем случае контур L задан уравнением x² + y² = 1 и z = 3. Это означает, что контур L является окружностью радиуса 1 на плоскости z = 3.
Теперь запишем векторное поле a:
a = (xz + y)i + (yz - x)j - (x² + y²)k
Подставим z = 3 в векторное поле a:
a = (x * 3 + y)i + (y * 3 - x)j - (x² + y²)k
a = (3x + y)i + (3y - x)j - (x² + y²)k
Теперь представим параметризацию контура L. Параметризуем окружность:
где t изменяется от 0 до 2π.
Теперь найдем элементарный вектор dr:
dr = (dx, dy, dz) = (-sin(t)dt, cos(t)dt, 0)
Теперь подставим параметризацию в векторное поле a:
a = (3cos(t) + sin(t))i + (3sin(t) - cos(t))j - (cos²(t) + sin²(t))k
Так как cos²(t) + sin²(t) = 1, то:
a = (3cos(t) + sin(t))i + (3sin(t) - cos(t))j - k
Теперь вычислим скалярное произведение a · dr:
a · dr = (3cos(t) + sin(t))(-sin(t)dt) + (3sin(t) - cos(t))(cos(t)dt) + (-1)(0)
a · dr = -(3cos(t)sin(t) + sin²(t))dt + (3sin(t)cos(t) - cos²(t))dt
a · dr = [-3cos(t)sin(t) - sin²(t) + 3sin(t)cos(t) - cos²(t)]dt
a · dr = [-sin²(t) - cos²(t)]dt
Так как sin²(t) + cos²(t) = 1, то:
a · dr = -1 dt
Теперь подставим это значение в интеграл для циркуляции:
C = ∮L a · dr = ∫02π -1 dt
C = -∫02π dt = -[t]02π = -[2π - 0] = -2π
Ответ: Циркуляция векторного поля a по контуру L равна -2π.