Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

Другие предметы Колледж Длина дуги кривой длина дуги кривая параметрические уравнения математический анализ колледж Новый

Чтобы вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, нам нужно следовать определенным шагам. Рассмотрим кривую, заданную параметрически уравнениями x(t) и y(t), где t - параметр, принимающий значения в некотором интервале [a, b]. Длина дуги L кривой может быть вычислена по следующей формуле:

L = ∫(a to b) √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

Теперь давайте разберем процесс вычисления длины дуги более подробно:

1. Найдите производные dx/dt и dy/dt:

   Для начала, необходимо вычислить производные x(t) и y(t) по параметру t. Это даст вам dx/dt и dy/dt.

2. Подставьте производные в формулу:

   После того, как вы нашли производные, подставьте их в формулу для длины дуги:

   √((dx/dt)² + (dy/dt)²)

3. Вычислите интеграл:

   Теперь вам нужно вычислить определенный интеграл от полученной функции в пределах от a до b. Это может потребовать применения методов интегрирования, таких как подстановка или интегрирование по частям, в зависимости от сложности функции.

4. Подставьте пределы интегрирования:

   После нахождения неопределенного интеграла, подставьте верхний и нижний пределы (b и a) для получения конечного значения длины дуги.

Пример:

Предположим, у нас есть кривая, заданная следующими параметрическими уравнениями:

x(t) = t², y(t) = t³, где t варьируется от 0 до 1.

1. Находим производные:
• dx/dt = 2t
• dy/dt = 3t²
2. Подставляем в формулу:

L = ∫(0 to 1) √((2t)² + (3t²)²) dt

3. Упрощаем подкоренное выражение:

L = ∫(0 to 1) √(4t² + 9t^4) dt

4. Вычисляем интеграл:

Это может потребовать дополнительных шагов, таких как выделение полного квадрата или использование других методов интегрирования.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете вычислить длину дуги любой кривой, заданной параметрическими уравнениями.