Чтобы вычислить интеграл ∫ dx / (a² + x²) на заданном интервале, сначала вспомним, что интеграл от функции вида 1 / (a² + x²) имеет известное решение:

Формула интегрирования:

• ∫ dx / (a² + x²) = (1/a) * arctan(x/a) + C, где C - постоянная интегрирования.

Теперь применим эту формулу к нашему интегралу:

Шаг 1: Подставим границы интегрирования.

Нам нужно вычислить:

∫[a, a√3] dx / (a² + x²) = [(1/a) * arctan(x/a)] | [a, a√3]

Шаг 2: Вычислим значение интеграла на границах.

Сначала подставим верхнюю границу x = a√3:

• arctan(a√3 / a) = arctan(√3) = π/3.

Теперь подставим нижнюю границу x = a:

• arctan(a / a) = arctan(1) = π/4.

Шаг 3: Подставляем значения в формулу:

∫[a, a√3] dx / (a² + x²) = (1/a) * [π/3 - π/4]

Шаг 4: Упростим выражение:

• π/3 - π/4 = (4π - 3π) / 12 = π / 12.

Теперь подставим это значение в формулу:

∫[a, a√3] dx / (a² + x²) = (1/a) * (π/12) = π / (12a).

Ответ: Значение интеграла ∫ dx / (a² + x²) на интервале от a до a√3 равно π / (12a).