Вычислить коэффициент при x⁶ y¹⁵ z⁸ в разложении
(2x² + 3y³ + 7z⁴ )¹⁰ .

Другие предметы Колледж Комбинаторика и биномиальные формулы дискретная математика колледж коэффициент разложение биномиальная теорема комбинаторика задачи примеры обучение математика Новый

Для того чтобы найти коэффициент при x⁶ y¹⁵ z⁸ в разложении (2x² + 3y³ + 7z⁴)¹⁰, мы будем использовать формулу многочлена, которая гласит, что коэффициент при определённом произведении переменных можно найти с помощью биномиальной теоремы.

Рассмотрим разложение (a + b + c)ⁿ, где a = 2x², b = 3y³, c = 7z⁴ и n = 10. Мы ищем такие неотрицательные целые числа k₁, k₂, k₃, что:

• k₁ + k₂ + k₃ = 10 (общее количество слагаемых)
• 2k₁ = 6 (поскольку мы хотим x⁶)
• 3k₂ = 15 (поскольку мы хотим y¹⁵)
• 4k₃ = 8 (поскольку мы хотим z⁸)

Теперь решим каждое из уравнений:

• Из 2k₁ = 6 следует, что k₁ = 6 / 2 = 3.
• Из 3k₂ = 15 следует, что k₂ = 15 / 3 = 5.
• Из 4k₃ = 8 следует, что k₃ = 8 / 4 = 2.

Теперь подставим найденные значения k₁, k₂ и k₃ в уравнение k₁ + k₂ + k₃ = 10:

3 + 5 + 2 = 10. Это верно, значит, мы нашли правильные значения.

Теперь мы можем найти коэффициент, используя формулу:

Коэффициент = C(n, k₁, k₂, k₃) * (коэффициент a)^k₁ * (коэффициент b)^k₂ * (коэффициент c)^k₃,

где C(n, k₁, k₂, k₃) - это многомерный коэффициент, который вычисляется по формуле:

C(n, k₁, k₂, k₃) = n! / (k₁! * k₂! * k₃!)

Подставим наши значения:

• n = 10, k₁ = 3, k₂ = 5, k₃ = 2.

Теперь считаем:

• C(10, 3, 5, 2) = 10! / (3! * 5! * 2!)

Считаем факториалы:

• 10! = 3628800
• 3! = 6
• 5! = 120
• 2! = 2

Теперь подставляем в формулу:

C(10, 3, 5, 2) = 3628800 / (6 * 120 * 2) = 3628800 / 1440 = 2520.

Теперь подставим коэффициенты:

• Коэффициент при x⁶ = 2³ = 8.
• Коэффициент при y¹⁵ = 3⁵ = 243.
• Коэффициент при z⁸ = 7² = 49.

Теперь умножим все вместе:

Коэффициент = 2520 * 8 * 243 * 49.

Посчитаем:

• 2520 * 8 = 20160.
• 20160 * 243 = 4898880.
• 4898880 * 49 = 240826320.

Таким образом, коэффициент при x⁶ y¹⁵ z⁸ в разложении (2x² + 3y³ + 7z⁴)¹⁰ равен 240826320.