Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: y=sinx; y=cosx; x=0; x=1/2

• sin1/2-cos1/2
• 1/2-1
• 1-1/2
• sin1/2+cos1/2-1

Другие предметы Колледж Интегрирование и вычисление площадей фигур математический анализ колледж площадь фигуры кривые y=sinx y=cosx x=0 x=1/2 вычисление площади интегралы графики функций учебные задания примеры задач Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = 1/2, нам необходимо следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Определение точек пересечения кривых

Сначала найдем точки пересечения кривых y = sin(x) и y = cos(x). Для этого приравняем их:

• sin(x) = cos(x)

Это равенство выполняется, когда x = π/4 + kπ, где k – целое число. Однако, нас интересует только область от 0 до 1/2, поэтому в этом интервале x = π/4. Но π/4 примерно равно 0.785, что больше 1/2. Таким образом, в нашем интервале кривые не пересекаются.

Шаг 2: Определение, какая кривая выше

Теперь нам нужно определить, какая из кривых выше на интервале [0, 1/2]. Для этого можно взять несколько значений x в этом интервале:

• При x = 0: sin(0) = 0, cos(0) = 1 (cos(x) выше)
• При x = 1/2: sin(1/2) ≈ 0.479, cos(1/2) ≈ 0.877 (cos(x) выше)

Таким образом, на интервале [0, 1/2] кривая y = cos(x) находится выше, чем y = sin(x).

Шаг 3: Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти с помощью интеграла:

Площадь = ∫(cos(x) - sin(x)) dx от 0 до 1/2.

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

• ∫(cos(x) - sin(x)) dx = sin(x) + cos(x) + C

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1/2:

• Площадь = [sin(1/2) + cos(1/2)] - [sin(0) + cos(0)]
• Площадь = [sin(1/2) + cos(1/2)] - [0 + 1]
• Площадь = sin(1/2) + cos(1/2) - 1

Шаг 5: Подставляем значения

Теперь подставим значения sin(1/2) и cos(1/2):

• sin(1/2) ≈ 0.479
• cos(1/2) ≈ 0.877

Таким образом,

• Площадь ≈ 0.479 + 0.877 - 1 ≈ 0.356.

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = 1/2, примерно равна 0.356.