Для вычисления интеграла ∫ xe^(x²) dx на интервале от 0 до 1, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам решить этот интеграл.

1. Выбор подстановки: Для интеграла ∫ xe^(x²) dx мы можем сделать подстановку. Пусть u = x². Тогда производная du будет равна 2x dx, или, следовательно, x dx = (1/2) du.
2. Изменение пределов интегрирования: При подстановке также изменяются пределы интегрирования. Когда x = 0, u = 0² = 0. Когда x = 1, u = 1² = 1. Таким образом, новые пределы интегрирования будут от 0 до 1.
3. Замена в интеграле: Теперь мы можем переписать интеграл в терминах u:
   • ∫ xe^(x²) dx = ∫ (1/2)e^u du.
4. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:
   • ∫ (1/2)e^u du = (1/2)e^u + C.
5. Возвращение к переменной x: Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно u = x²:
   • (1/2)e^(x²) + C.
6. Подстановка пределов интегрирования: Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:
   • ∫ от 0 до 1 xe^(x²) dx = [(1/2)e^(1²)] - [(1/2)e^(0²)] = (1/2)e - (1/2)e^0 = (1/2)e - (1/2).
7. Упрощение результата: Упрощаем полученное выражение:
   • (1/2)(e - 1).

Таким образом, значение интеграла ∫ xe^(x²) dx на интервале от 0 до 1 равно (1/2)(e - 1).