Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1), x⟶1

• 1) -1/3
• 2) 1/3
• 3) -1/2
• 4) 1/2

Другие предметы Колледж Пределы и правила вычисления пределов предел по правилу Лопиталя высшая математика колледж вычисление предела математический анализ функции и пределы пределы и производные Новый

Чтобы вычислить предел lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1) при x → 1, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Для этого сначала проверим, подходит ли данный предел под условия применения правила.

Подставим x = 1 в числитель и знаменатель:

• Числитель: √(5 - 1) - 2 = √4 - 2 = 2 - 2 = 0
• Знаменатель: √(2 - 1) - 1 = √1 - 1 = 1 - 1 = 0

Мы получили форму 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя. Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

1. Числитель: f(x) = √(5 - x) - 2. Производная f'(x) = -1/(2√(5 - x)).
2. Знаменатель: g(x) = √(2 - x) - 1. Производная g'(x) = -1/(2√(2 - x)).

Теперь применим правило Лопиталя:

lim (√(5 - x) - 2) / (√(2 - x) - 1) = lim f'(x) / g'(x) = lim (-1/(2√(5 - x))) / (-1/(2√(2 - x))) = lim (√(2 - x) / √(5 - x))

Теперь подставим x = 1:

• √(2 - 1) = √1 = 1
• √(5 - 1) = √4 = 2

Таким образом, предел равен:

lim (√(2 - x) / √(5 - x)) = 1 / 2.

Ответ: 1/2.