Для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел мы используем кратные интегралы. Давайте рассмотрим, как выводятся основные формулы для этих расчетов.

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную некоторыми кривыми. Чтобы вычислить ее площадь, мы можем использовать двойной интеграл. Предположим, что фигура ограничена в пределах, заданных функциями y = f(x) и y = g(x) по оси x, и x изменяется от a до b.

• Сначала мы разбиваем область на маленькие прямоугольники, где высота прямоугольника будет равна f(x) - g(x).
• Площадь каждого прямоугольника будет равна dA = (f(x) - g(x)) * dx.
• Теперь мы можем выразить площадь S фигуры через интеграл:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx.

Если фигура имеет более сложную форму или ограничена несколькими кривыми, мы используем двойной интеграл:

S = ∫∫_D dA,

где D - область интегрирования, а dA - элемент площади, который можно выразить как dx * dy.

Для вычисления объема трехмерных тел также используются кратные интегралы. Рассмотрим, например, объем тела, ограниченного поверхностями z = f(x, y) и z = g(x, y).

• Как и в случае с площадью, мы разбиваем область на маленькие параллелепипеды. Объем каждого параллелепипеда будет равен dV = (f(x, y) - g(x, y)) * dx * dy.
• Объем V тела можно выразить через двойной интеграл:

V = ∫∫_D (f(x, y) - g(x, y)) dx dy.

Если тело имеет более сложную форму, мы можем использовать тройной интеграл:

V = ∫∫∫_E dV,

где E - объем интегрирования, а dV - элемент объема, который можно выразить как dx * dy * dz.

Рассмотрим простой пример. Пусть у нас есть фигура, ограниченная графиками y = x^2 и y = 4. Чтобы найти площадь этой фигуры, мы сначала находим точки пересечения:

• Решаем уравнение x^2 = 4, получаем x = -2 и x = 2.

Теперь вычисляем площадь:

S = ∫[-2, 2] (4 - x^2) dx.

Таким образом, мы можем использовать кратные интегралы для вычисления площадей и объемов, разбивая фигуры на более простые элементы и интегрируя по соответствующим переменным.