Вывод формулы Грина для односвязной и многосвязной областей:
Другие предметыКолледжФормулы ГринаФормула Гринаодносвязная областьмногосвязная областькратные интегралырядыколледжматематический анализтеорема Гринаинтегралыобласти интегрирования
Формула Грина является важным результатом в математическом анализе, который связывает двойной интеграл по области с интегралом по её границе. Давайте рассмотрим вывод этой формулы для односвязной и многосвязной областей.
Рассмотрим односвязную область D в плоскости с границей C, которая является кусочно-гладкой. Формула Грина выглядит следующим образом:
Формула Грина:
∫C (P dx + Q dy) = ∫D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
Теперь давайте разберем шаги вывода:
Теперь рассмотрим многосвязную область D, которая состоит из нескольких односвязных компонент. В этом случае формула Грина также может быть применена, но с некоторыми уточнениями.
Для многосвязной области D, формула Грина записывается как:
Формула Грина для многосвязной области:
∫C (P dx + Q dy) = ∑∫Di (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA
где Di - односвязные компоненты области D.
Шаги вывода для многосвязной области:
Таким образом, формула Грина связывает интегралы по границе области с интегралами по самой области, и её вывод основан на применении теоремы о градиенте и свойств двойных интегралов.