Дана функция: z=x2-2xy2+y3. Найдите частные производные второго порядка для этой функции.

• -6x+7y.
• -4x+8y.
• -4x+6y.

Другие предметы Университет Частные производные и дифференциальное исчисление частные производные функция математика университет производные второго порядка z=x^2-2xy^2+y^3 Новый

Чтобы найти частные производные второго порядка для функции z = x² - 2xy² + y³, мы сначала найдем частные производные первого порядка, а затем на их основе вычислим частные производные второго порядка.

1. **Находим частные производные первого порядка**:

• Частная производная z по x:
1. Вычисляем производную z по x: ∂z/∂x = 2x - 2y².
• Частная производная z по y:
1. Вычисляем производную z по y: ∂z/∂y = -4xy + 3y².

2. **Находим частные производные второго порядка**:

• Частная производная второго порядка z по x два раза:
1. Вычисляем ∂²z/∂x²: ∂/∂x(2x - 2y²) = 2.
• Частная производная второго порядка z по y два раза:
1. Вычисляем ∂²z/∂y²: ∂/∂y(-4xy + 3y²) = -4x + 6y.
• Смешанная частная производная первого по x, второго по y:
1. Вычисляем ∂²z/∂y∂x: ∂/∂y(2x - 2y²) = -4y.
• Смешанная частная производная первого по y, второго по x:
1. Вычисляем ∂²z/∂x∂y: ∂/∂x(-4xy + 3y²) = -4y.

Таким образом, мы получили частные производные второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 2
• ∂²z/∂y² = -4x + 6y
• ∂²z/∂y∂x = ∂²z/∂x∂y = -4y

Ответ: Частные производные второго порядка:

• ∂²z/∂x² = 2
• ∂²z/∂y² = -4x + 6y
• ∂²z/∂y∂x = -4y