Дана система уравнений {x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1, −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0, x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2. Решая уравнение методом Крамера, какие действия необходимо совершить?

• Записать расширенную матрицу системы; выполнить элементарные преобразования; получить эквивалентную систему уравнений.
• Записать матричное уравнение; вычислить определитель матрицы; найти обратную матрицу; найти алгебраические дополнения; решить систему матричного уравнения.
• Найти определитель матрицы; найти значения n определителей путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; найти значение неизвестных через отношения советующих полученных определителей к определителю изначальной матрицы.

Другие предметы Университет Метод Крамера высшая математика система уравнений метод Крамера матричное уравнение определитель матрицы элементарные преобразования алгебраические дополнения университетская математика решение системы уравнений Новый

Для решения данной системы уравнений методом Крамера, давайте пройдемся по всем необходимым шагам подробно.

Шаг 1: Записать расширенную матрицу системы.

Сначала нужно записать коэффициенты системы уравнений в виде расширенной матрицы. У нас есть три уравнения:

• x₁ + 2 ⋅ x₂ − x₃ = 1
• −3 ⋅ x₁ + x₂ + 2 ⋅ x₃ = 0
• x₁ + 4 ⋅ x₂ + 3 ⋅ x₃ = 2

Расширенная матрица будет выглядеть так:

[A|B] = | 1 2 -1 | 1 | | -3 1 2 | 0 | | 1 4 3 | 2 |

Шаг 2: Выполнить элементарные преобразования.

Мы можем использовать элементарные преобразования для упрощения матрицы, но для метода Крамера нам не обязательно приводить систему к треугольному виду. Мы можем сразу перейти к вычислению определителей.

Шаг 3: Записать матричное уравнение.

Система уравнений может быть записана в матричном виде как:

A * X = B

где:

• A = | 1 2 -1 |
• | -3 1 2 |
• | 1 4 3 |

<li>X = | x₁ |</li>
<li>    | x₂ |</li>
<li>    | x₃ |</li></ul>
<li>B = |  1 |</li>
<li>    |  0 |</li>
<li>    |  2 |</li></ul>

Шаг 4: Вычислить определитель матрицы A.

Определитель матрицы A можно вычислить по формуле для 3x3 матриц:

det(A) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg),

где a, b, c, d, e, f, g, h, i - элементы матрицы A. Подставив значения, мы получаем:

det(A) = 1(1*3 - 2*4) - 2(-3*3 - 2*1) - 1(-3*4 - 1*1).

После вычислений определитель равен -1.

Шаг 5: Найти обратную матрицу.

Чтобы найти обратную матрицу, мы используем формулу A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A), где adj(A) - присоединенная матрица. Для этого нужно найти алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы A.

Шаг 6: Найти алгебраические дополнения.

Алгебраические дополнения можно найти, вычисляя определитель матриц, полученных из A путем удаления соответствующей строки и столбца. Например, для элемента a11 (1) мы удаляем первую строку и первый столбец:

• Матричный определитель: | 1 2 | = 1*3 - 2*2 = -1
• Для a12 (2): | -3 2 | = -3*3 - 2*1 = -11
• Для a13 (-1): | -3 1 | = -3*4 - 1*1 = -13

И так далее для всех элементов. После нахождения всех алгебраических дополнений, мы можем составить присоединенную матрицу.

Шаг 7: Решить систему матричного уравнения.

Теперь, когда у нас есть A^(-1), мы можем найти X, используя X = A^(-1) * B.

Шаг 8: Найти определитель матрицы.

Мы уже нашли определитель матрицы A, равный -1. Теперь нам нужно найти определители для матриц, полученных заменой первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

• Для D1: заменяем первый столбец на | 1 0 2 |
• Для D2: заменяем второй столбец на | 1 0 2 |
• Для D3: заменяем третий столбец на | 1 0 2 |

Шаг 9: Найти значения неизвестных через отношения.

После нахождения всех определителей, мы можем найти значения x₁, x₂ и x₃ по формулам:

• x₁ = D1/det(A)
• x₂ = D2/det(A)
• x₃ = D3/det(A)

Итак, следуя всем этим шагам, мы можем решить систему уравнений методом Крамера. Если у вас есть дополнительные вопросы по каждому из шагов, не стесняйтесь спрашивать!