Дано неравенство 25ˣ > 125³ˣ⁻².
При каких значениях x выполняется данное неравенство?

• Данное неравенство выполняется при x ∈ (−∞; 0] ∪ [6/7; +∞)
• Данное неравенство выполняется при x ∈ (−∞; 6/7)
• Данное неравенство выполняется при x ∈ (6/7; +∞)

Другие предметы Университет Неравенства с показательной функцией неравенство решение неравенства математический анализ университетская математика значения x математические задачи Новый

Для решения неравенства 25ˣ > 125³ˣ⁻², начнем с преобразования обеих сторон, чтобы упростить выражение.

Шаг 1. Преобразуем основание.

Мы знаем, что 25 и 125 можно представить как степени числа 5:

• 25 = 5²
• 125 = 5³

Таким образом, мы можем переписать неравенство:

(5²)ˣ > (5³)³ˣ⁻²

Шаг 2. Упростим выражение.

Теперь упростим правую часть:

(5²)ˣ > 5^(3*(3ˣ - 2))

Это можно записать как:

5^(2x) > 5^(9x - 6)

Шаг 3. Убираем одинаковые основания.

Так как основания равны, мы можем убрать их, при условии, что 5 > 0:

2x > 9x - 6

Шаг 4. Решаем неравенство.

Переносим все члены с x в одну сторону:

2x - 9x > -6

-7x > -6

Теперь делим обе стороны на -7. Не забываем, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

x < 6/7

Шаг 5. Проверим границу.

Теперь нам нужно проверить, при каких значениях x выполняется данное неравенство. Мы получили x < 6/7, но не забываем, что неравенство может быть истинным для значений, меньших 6/7. Однако, нам нужно также учесть, что 25ˣ и 125³ˣ⁻² могут быть равны при x = 6/7.

Шаг 6. Подбор значений.

Теперь проверим, что происходит, если x = 0 и x = 6/7:

• При x = 0: 25^0 = 1 и 125^(3*0-2) = 125^(-2) = 1/15625, следовательно, 1 > 1/15625 (истина).
• При x = 6/7: 25^(6/7) и 125^(3*(6/7)-2) = 125^(18/7 - 2) = 125^(4/7) (равенство).

Таким образом, неравенство выполняется для всех x, меньших 6/7, и также для значений, больших 6/7, поскольку при x = 6/7 оно не выполняется.

Ответ: Неравенство выполняется для x ∈ (−∞; 6/7).