Дифференциальное уравнение малых колебаний имеет вид Найти частоту затухающих колебаний.

Другие предметы Университет Колебания механических систем Дифференциальное уравнение малые колебания частота затухающих колебаний теоретическая механика университет Новый

Чтобы найти частоту затухающих колебаний, мы начнем с общего вида дифференциального уравнения малых колебаний. Обычно оно записывается в следующем виде:

m * d²x/dt² + b * dx/dt + k * x = 0

где:

• m - масса тела;
• b - коэффициент вязкого сопротивления;
• k - жесткость пружины;
• x - смещение от положения равновесия;
• t - время.

Это уравнение описывает затухающие колебания, где b отвечает за затухание.

Для решения этого уравнения мы можем использовать характеристическое уравнение:

m * r² + b * r + k = 0

где r - корни характеристического уравнения. Мы можем найти корни с помощью формулы для квадратного уравнения:

r = (-b ± √(b² - 4mk)) / (2m)

Теперь, чтобы определить частоту затухающих колебаний, нам нужно рассмотреть корни этого уравнения. В зависимости от дискриминанта (D = b² - 4mk) у нас могут быть разные случаи:

• D > 0: два различных действительных корня (сильно затухающие колебания);
• D = 0: один двойной корень (критически затухающие колебания);
• D < 0: два комплексных корня (затухающие колебания).

В случае, когда D < 0, корни можно записать в виде:

r1,2 = (-b ± i√(4mk - b²)) / (2m)

Здесь i - мнимая единица. Мы можем обозначить:

α = -b / (2m) (коэффициент затухания),

ω0 = √(k/m) (собственная частота колебаний).

Тогда частота затухающих колебаний ω будет равна:

ω = √(ω0² - α²)

Таким образом, подводя итог, частота затухающих колебаний определяется как:

ω = √(k/m - (b/(2m))²)

Это уравнение позволяет нам найти частоту затухающих колебаний, если известны параметры системы: масса, коэффициент вязкости и жесткость пружины.