Для функции In (1 - х) выбрать соответствующий многочлен Тейлора.

Другие предметы Университет Многочлены Тейлора многочлен Тейлора функция In(1 - х) математический анализ университет ряд Тейлора приближение функций анализ функций Новый

Чтобы найти многочлен Тейлора для функции ln(1 - x), мы будем использовать определение многочлена Тейлора. Многочлен Тейлора в точке a для функции f(x) имеет вид:

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3! + ...

В нашем случае мы будем разрабатывать многочлен Тейлора для функции ln(1 - x) в точке a = 0. Сначала найдем производные функции в этой точке.

1. Найдем значение функции в точке a:
   • f(0) = ln(1 - 0) = ln(1) = 0
2. Первая производная:
   • f'(x) = -1/(1 - x)
   • f'(0) = -1/(1 - 0) = -1
3. Вторая производная:
   • f''(x) = -1/(1 - x)²
   • f''(0) = -1/(1 - 0)² = -1
4. Третья производная:
   • f'''(x) = -2/(1 - x)³
   • f'''(0) = -2/(1 - 0)³ = -2
5. Четвертая производная:
   • f''''(x) = -6/(1 - x)⁴
   • f''''(0) = -6/(1 - 0)⁴ = -6

Теперь, когда мы нашли значения функции и её производных в точке a = 0, мы можем подставить их в формулу для многочлена Тейлора:

ln(1 - x) ≈ 0 - 1 * (x - 0) - 1 * (x - 0)²/2! - 2 * (x - 0)³/3! - 6 * (x - 0)⁴/4! + ...

Упрощая это выражение, мы получаем:

ln(1 - x) ≈ -x - x²/2 - x³/3 - x⁴/4 + ...

Таким образом, многочлен Тейлора для функции ln(1 - x) в точке a = 0 имеет вид:

ln(1 - x) = -x - x²/2 - x³/3 - x⁴/4 - ...

Этот ряд сходится для |x| < 1.