Метод наименьших квадратов (МНК) является основным инструментом для оценки параметров линейной регрессии. Когда мы говорим о предпосылках метода наименьших квадратов, мы имеем в виду условия, которые должны выполняться для того, чтобы оценки параметров были наилучшими, т.е. несмещёнными и состоятельными. Эти условия известны как условия Гаксса-Маркова.

Давайте рассмотрим эти условия подробнее и объясним, почему они важны для получения наилучших оценок:

• Линейность: Модель должна быть линейной в параметрах. Это означает, что зависимость между независимыми переменными и зависимой переменной должна быть линейной.
• Независимость ошибок: Ошибки модели должны быть независимыми. Это условие гарантирует, что ошибка в одном наблюдении не влияет на ошибку в другом.
• Гомоскедастичность: Дисперсия ошибок должна быть постоянной для всех уровней независимых переменных. Это означает, что разброс ошибок не должен зависеть от значений независимых переменных.
• Нормальность ошибок: Ошибки должны быть нормально распределены. Это условие важно для проверки гипотез и построения доверительных интервалов.
• Отсутствие мультиколлинеарности: Независимые переменные не должны быть сильно коррелированы друг с другом. Это условие позволяет точно оценивать влияние каждой независимой переменной на зависимую.

Теперь давайте разберем, почему выполнение этих условий приводит к наилучшим оценкам:

1. Несмещённость: Если выполняются условия Гаксса-Маркова, то оценки параметров являются несмещёнными, что означает, что в среднем они будут равны истинным значениям параметров.
2. Состоятельность: При увеличении объема выборки оценки будут стремиться к истинным значениям параметров, что делает их состоятельными.
3. Минимальная дисперсия: При выполнении этих условий оценки будут иметь наименьшую возможную дисперсию среди всех линейных несмещённых оценок (это свойство называется "эффективностью").

Таким образом, если все условия Гаксса-Маркова выполняются, то мы можем быть уверены, что наш метод наименьших квадратов дает наилучшие оценки параметров линейной регрессии. Это делает МНК мощным инструментом в эконометрике и статистике для анализа данных.