Доказать, что любое уравнение 1ой степени относительно декартовых прямоугольных векторах определяет на плоскости прямую. Понятие нормального вектора прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой «в отрезках».

Другие предметы Университет Уравнение прямой в аналитической геометрии линейная алгебра аналитическая геометрия уравнение прямой декартовы векторы нормальный вектор прямая на плоскости уравнение через точки уравнение в отрезках Новый

Давайте разберем, как уравнения 1-й степени относительно декартовых прямоугольных векторов определяют прямую на плоскости, а также определим понятие нормального вектора и рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

1. Уравнение 1-й степени и его геометрическая интерпретация

Уравнение 1-й степени относительно декартовых координат x и y имеет вид:

• Ax + By + C = 0,

где A, B и C - некоторые постоянные коэффициенты, причем не оба из A и B равны нулю одновременно.

Это уравнение описывает прямую на плоскости. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим несколько случаев:

• Если B ≠ 0, то мы можем выразить y через x: y = -A/B * x - C/B, что является уравнением прямой в явной форме.
• Если A ≠ 0, то мы можем выразить x через y: x = -B/A * y - C/A, что также является уравнением прямой.

Таким образом, любое уравнение 1-й степени описывает прямую, так как оно может быть приведено к линейной зависимости между x и y.

2. Нормальный вектор прямой

Нормальный вектор прямой - это вектор, который перпендикулярен данной прямой. Если у нас есть уравнение прямой Ax + By + C = 0, то нормальный вектор этой прямой можно записать как:

• N = (A, B).

Этот вектор указывает направление, перпендикулярное к прямой. Например, если A = 2 и B = 3, то нормальный вектор будет (2, 3).

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть у нас есть две точки на плоскости: P1(x1, y1) и P2(x2, y2). Мы можем найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки, следующим образом:

1. Сначала находим угловой коэффициент (k) прямой, используя формулу:
• k = (y2 - y1) / (x2 - x1),
2. Затем, используя одну из точек, например P1, подставляем в уравнение прямой в виде y = kx + b, чтобы найти b:
• b = y1 - k * x1.
3. Теперь мы можем записать уравнение прямой в явной форме:
• y = kx + b.

4. Уравнение прямой «в отрезках»

Уравнение прямой «в отрезках» позволяет выразить координаты точек на прямой через ее пересечения с осями координат. Если прямая пересекает ось x в точке A(a, 0) и ось y в точке B(0, b), то уравнение прямой можно записать в виде:

• 1/a * x + 1/b * y = 1.

Это уравнение также описывает прямую, но в терминах отрезков, которые она образует на осях координат.

Таким образом, мы рассмотрели, как уравнения 1-й степени описывают прямые на плоскости, определили нормальный вектор и изучили уравнения прямых, проходящих через две заданные точки и в отрезках.