Доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.

Другие предметы Университет Теория производной достаточное условие возрастание функции дифференцируемая функция математический анализ университет доказательство функции Новый

Чтобы доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции, мы будем использовать теорему о производной. Давайте рассмотрим дифференцируемую функцию f(x) на интервале (a, b).

Шаг 1: Определение производной

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если существует предел:

f'(x) = lim(h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

где f'(x) - производная функции в точке x.

Шаг 2: Условие возрастания

Функция f(x) будет возрастать на интервале (a, b), если для любых x1, x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство:

f(x1) < f(x2).

Шаг 3: Связь между производной и возрастанием

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) > 0 для всех x из (a, b), то мы можем утверждать, что функция f(x) возрастает на этом интервале. Это связано с тем, что положительная производная означает, что функция нарастает в каждом из этих x.

Шаг 4: Доказательство

• Пусть x1 и x2 - любые точки из интервала (a, b), где x1 < x2.
• Согласно теореме о среднем значении, существует такая точка c в интервале (x1, x2), что:
• f'(c) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).
• Поскольку f'(c) > 0, это означает, что (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) > 0.
• Следовательно, f(x2) - f(x1) > 0, что приводит к неравенству f(x2) > f(x1).

Таким образом, мы доказали, что если f'(x) > 0 на интервале (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале. Это и есть достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.