Чтобы доказать достаточное условие возрастания дифференцируемой функции, мы будем использовать теорему о производной. Давайте рассмотрим дифференцируемую функцию f(x) на интервале (a, b).

Шаг 1: Определение производной

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если существует предел:

f'(x) = lim(h -> 0) (f(x + h) - f(x)) / h

где f'(x) - производная функции в точке x.

Шаг 2: Условие возрастания

Функция f(x) будет возрастать на интервале (a, b),если для любых x1, x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство:

f(x1) < f(x2).

Шаг 3: Связь между производной и возрастанием

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и ее производная f'(x) > 0 для всех x из (a, b),то мы можем утверждать, что функция f(x) возрастает на этом интервале. Это связано с тем, что положительная производная означает, что функция нарастает в каждом из этих x.

Шаг 4: Доказательство

• Пусть x1 и x2 - любые точки из интервала (a, b),где x1 < x2.
• Согласно теореме о среднем значении, существует такая точка c в интервале (x1, x2),что:
• f'(c) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1).
• Поскольку f'(c) > 0, это означает, что (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) > 0.
• Следовательно, f(x2) - f(x1) > 0, что приводит к неравенству f(x2) > f(x1).

Таким образом, мы доказали, что если f'(x) > 0 на интервале (a, b),то функция f(x) возрастает на этом интервале. Это и есть достаточное условие возрастания дифференцируемой функции.