Доказать свойство линейности скалярного произведения

Другие предметы Университет Скалярное произведение векторных пространств линейная алгебра аналитическая геометрия скалярное произведение свойство линейности доказательство линейности Новый

Скалярное произведение – это операция, которая принимает два вектора и возвращает скаляр. Основные свойства скалярного произведения включают линейность. Давайте подробно рассмотрим, что это означает и как это можно доказать.

Свойство линейности скалярного произведения можно разбить на два основных пункта:

• Линейность по первому аргументу: Для любых векторов u, v, w и скаляров a, b выполняется следующее:

(a * u + b * v, w) = a * (u, w) + b * (v, w)

• Линейность по второму аргументу: Аналогично, для любых векторов u, v, w и скаляров a, b выполняется:

(u, a * v + b * w) = a * (u, v) + b * (u, w)

Теперь давайте рассмотрим доказательство первого пункта линейности по первому аргументу.

1. Рассмотрим два вектора u и v в n-мерном пространстве, а также вектор w. Запишем их в координатной форме:

u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn), w = (w1, w2, ..., wn)

2. Согласно определению скалярного произведения, оно вычисляется как:

(u, w) = u1 * w1 + u2 * w2 + ... + un * wn

(v, w) = v1 * w1 + v2 * w2 + ... + vn * wn

3. Теперь вычислим скалярное произведение (a * u + b * v, w):

a * u + b * v = (a * u1 + b * v1, a * u2 + b * v2, ..., a * un + b * vn)

4. Теперь подставим это выражение в скалярное произведение:

(a * u + b * v, w) = (a * u1 + b * v1) * w1 + (a * u2 + b * v2) * w2 + ... + (a * un + b * vn) * wn

5. Раскроем скобки:

= a * (u1 * w1 + u2 * w2 + ... + un * wn) + b * (v1 * w1 + v2 * w2 + ... + vn * wn)

= a * (u, w) + b * (v, w)

6. Таким образом, мы доказали, что (a * u + b * v, w) = a * (u, w) + b * (v, w), что и требовалось.

Теперь давайте кратко рассмотрим доказательство линейности по второму аргументу:

1. Согласно определению, мы имеем:

(u, a * v + b * w) = (u, (a * v1 + b * w1, a * v2 + b * w2, ..., a * vn + b * wn))

2. Вычисляем это скалярное произведение:

= u1 * (a * v1 + b * w1) + u2 * (a * v2 + b * w2) + ... + un * (a * vn + b * wn)

3. Раскроем скобки:

= a * (u1 * v1 + u2 * v2 + ... + un * vn) + b * (u1 * w1 + u2 * w2 + ... + un * wn)

= a * (u, v) + b * (u, w)

4. Таким образом, мы также доказали, что (u, a * v + b * w) = a * (u, v) + b * (u, w).

В итоге, мы показали, что скалярное произведение является линейным по обоим своим аргументам, что является важным свойством в линейной алгебре.