Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Другие предметы Университет Теорема о пределах теорема Бернулли-Лопиталя предел отношения функций бесконечно малые функции математический анализ доказательство теоремы университетская математика пределы и функции Новый

Давайте рассмотрим теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций. Эта теорема помогает находить пределы выражений вида 0/0 или ∞/∞, когда мы имеем дело с бесконечно малыми величинами.

Шаг 1: Определение бесконечно малых функций

• Функция f(x) называется бесконечно малой, если lim (x → a) f(x) = 0.
• Аналогично, функция g(x) также бесконечно мала, если lim (x → a) g(x) = 0.

Шаг 2: Формулировка теоремы

Если f(x) и g(x) — бесконечно малые функции, и существует предел lim (x → a) f'(x)/g'(x), то:

lim (x → a) f(x)/g(x) = lim (x → a) f'(x)/g'(x), при условии, что предел справа существует или равен бесконечности.

Шаг 3: Доказательство

• Предположим, что f(x) и g(x) стремятся к 0 при x → a.
• По определению производной, мы можем записать:
• f'(x) = lim (h → 0) (f(x + h) - f(x))/h,
• g'(x) = lim (h → 0) (g(x + h) - g(x))/h.
• Теперь рассмотрим отношение f(x)/g(x):
• lim (x → a) f(x)/g(x) = lim (x → a) (f'(x) * h)/(g'(x) * h) = lim (x → a) f'(x)/g'(x),
• где h — это бесконечно малая величина, которая стремится к 0.
• Таким образом, если lim (x → a) f'(x)/g'(x) существует, мы можем утверждать, что lim (x → a) f(x)/g(x) = lim (x → a) f'(x)/g'(x).

Шаг 4: Заключение

Таким образом, теорема Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций доказана. Мы можем использовать эту теорему для нахождения пределов, когда сталкиваемся с формами 0/0 или ∞/∞, применяя производные функций.