Доказать теорему Коши.

Другие предметы Университет Теорема Коши о среднем значении теорема Коши математический анализ доказательство теоремы университетская математика основы математического анализа Новый

Теорема Коши утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует хотя бы одна точка c из интервала (a, b), такая что:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Теперь давайте подробно рассмотрим доказательство этой теоремы.

Шаг 1: Определение новой функции

Рассмотрим функцию g(x), определенную на интервале [a, b] следующим образом:

g(x) = f(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a) - f(a).

Эта функция g(x) будет непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), так как она является комбинацией непрерывных и дифференцируемых функций.

Шаг 2: Вычисление значений g(a) и g(b)

• g(a) = f(a) - 0 - f(a) = 0;
• g(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) - f(a) = 0.

Таким образом, мы имеем g(a) = 0 и g(b) = 0.

Шаг 3: Применение теоремы Ролля

Поскольку g(a) = g(b), по теореме Ролля, существует хотя бы одна точка c из интервала (a, b), такая что g'(c) = 0.

Шаг 4: Вычисление производной g(x)

Теперь найдем производную g(x):

g'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a).

Приравнивая g'(c) к нулю, получаем:

0 = f'(c) - (f(b) - f(a)) / (b - a).

Отсюда следует, что:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Шаг 5: Заключение

Мы доказали, что существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что производная функции f в этой точке равна среднему значению производной функции на отрезке [a, b]. Это и есть утверждение теоремы Коши.

Таким образом, теорема Коши доказана.