Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении, утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на открытом интервале (a, b),то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b),такая что:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Теперь давайте подробно рассмотрим доказательство этой теоремы.

1. Определение функции: Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - mx, где m = (f(b) - f(a)) / (b - a). Эта функция будет использоваться для поиска точки c.
2. Определение m: Здесь m - это угловой коэффициент секущей линии, соединяющей точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
3. Непрерывность и дифференцируемость: Так как f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b),то и g(x) также будет непрерывной на [a, b] и дифференцируемой на (a, b).
4. Нахождение экстремумов: По теореме о экстремумах, g(x) достигает своего максимума и минимума на [a, b]. Обозначим g(a) и g(b):
   • g(a) = f(a) - m*a
   • g(b) = f(b) - m*b
5. Применение теоремы о промежуточном значении: Если g(a) и g(b) имеют разные знаки, то по теореме о промежуточном значении существует точка c в (a, b) такая, что g(c) = 0. Это означает, что: f(c) - m*c = 0, или f(c) = m*c.
6. Нахождение производной: Теперь найдем производную g(x): g'(x) = f'(x) - m. Если g(c) = 0, то g'(c) = 0, что дает: f'(c) = m.
7. Заключение: Мы знаем, что m = (f(b) - f(a)) / (b - a),следовательно, f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Это и есть требуемое утверждение теоремы Лагранжа.

Таким образом, мы доказали теорему Лагранжа, что завершает наше объяснение.