Доказать теорему Лагранжа.

Другие предметы Университет Теорема Лагранжа доказать теорему Лагранжа математический анализ университет теорема Лагранжа доказательства в математике Новый

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении, утверждает, что если функция f(x) непрерывна на закрытом интервале [a, b] и дифференцируема на открытом интервале (a, b), то существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), такая что:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Теперь рассмотрим шаги доказательства этой теоремы:

1. Определение функции: Рассмотрим функцию g(x), определенную следующим образом:
• g(x) = f(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (x - a) - f(a)
2. Анализ свойств функции g(x): Эта функция g(x) будет непрерывной на [a, b] и дифференцируемой на (a, b), так как она состоит из непрерывной и дифференцируемой функции f(x) и линейной функции.
3. Значения функции g(x): Теперь найдем значения g(a) и g(b):
• g(a) = f(a) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (a - a) - f(a) = 0
• g(b) = f(b) - (f(b) - f(a)) / (b - a) * (b - a) - f(a) = f(b) - (f(b) - f(a)) - f(a) = 0
4. Применение теоремы о максимуме и минимуме: Согласно теореме о максимуме и минимуме, если g(x) непрерывна на [a, b] и достигает максимума и минимума, то в точках, где g(x) достигает максимума или минимума, производная g'(x) равна нулю.
5. Нахождение точки c: Таким образом, существует хотя бы одна точка c в (a, b), такая что g'(c) = 0. Теперь вычислим производную g'(x):
• g'(x) = f'(x) - (f(b) - f(a)) / (b - a)
6. Установка производной в ноль: Устанавливая g'(c) = 0, получаем:
• f'(c) - (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0
• Отсюда следует, что f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Таким образом, мы доказали, что существует хотя бы одна точка c в интервале (a, b), для которой выполняется равенство, указанное в теореме Лагранжа.