Доказать теорему о пределе промежуточной функции.

Другие предметы Университет Теорема о пределе промежуточной функции теорема о пределе промежуточная функция математический анализ доказательство теоремы университетский курс пределы функций Новый

Теорема о пределе промежуточной функции утверждает, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и x стремится к некоторой точке c из этого отрезка, то предел f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c). То есть:

Теорема: Если f(x) непрерывна в точке c, то:

lim (x → c) f(x) = f(c).

Теперь давайте подробно рассмотрим доказательство этой теоремы.

1. Определение непрерывности: Мы начнем с определения непрерывности функции в точке c. Функция f(x) называется непрерывной в точке c, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если |x - c| < δ, то |f(x) - f(c)| < ε.
2. Выбор ε: Пусть ε > 0. Мы должны показать, что существует δ > 0, удовлетворяющее условию непрерывности.
3. Существование δ: Поскольку f(x) непрерывна в точке c, по определению существует такое δ > 0, что если |x - c| < δ, то |f(x) - f(c)| < ε. Это значит, что для всех x, находящихся в пределах δ от c, значения f(x) будут находиться в пределах ε от f(c).
4. Предел функции: Теперь, когда мы знаем, что |f(x) - f(c)| < ε, когда |x - c| < δ, мы можем записать это как:

   lim (x → c) f(x) = f(c).

   Это и означает, что предел f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c).
5. Заключение: Таким образом, мы доказали, что если функция f(x) непрерывна в точке c, то предел f(x) при x, стремящемся к c, равен f(c):

   lim (x → c) f(x) = f(c).

Это завершает доказательство теоремы о пределе промежуточной функции. Если у вас есть вопросы или требуется больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!