Доказать теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Другие предметы Университет Теория пределов математический анализ теорема о пределе связь функции и предела бесконечно малая доказательство теоремы университетский курс математики Новый

Давайте рассмотрим теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой. Эта теорема утверждает, что если функция f(x) имеет предел L при x стремящемся к a, то разность f(x) - L является бесконечно малой при x, стремящемся к a. Давайте подробно разберем шаги доказательства этой теоремы.

Шаг 1: Определение предела

• По определению предела функции: lim (x → a) f(x) = L, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| < δ, выполняется |f(x) - L| < ε.

Шаг 2: Определение бесконечно малой

• Функция g(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к a, если для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| < δ, выполняется |g(x)| < ε.

Шаг 3: Связь между пределем и бесконечно малой

• Теперь мы можем рассмотреть функцию g(x) = f(x) - L.
• Согласно определению предела, если lim (x → a) f(x) = L, то для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что |f(x) - L| < ε для всех x, где 0 < |x - a| < δ.
• Это означает, что |g(x)| = |f(x) - L| < ε, что соответствует определению бесконечно малой.

Шаг 4: Заключение

• Таким образом, мы можем заключить, что разность f(x) - L является бесконечно малой при x стремящемся к a. Это и доказывает теорему о связи функции, её предела и бесконечно малой.

Итак, мы показали, что если функция имеет предел, то разность этой функции и предела является бесконечно малой. Это важный результат в математическом анализе, который помогает лучше понять поведение функций в окрестности точек, где они имеют пределы.