Теорема о знакопостоянстве функции утверждает, что если функция имеет предел, отличный от нуля, при стремлении переменной к некоторой точке, то функция сохраняет знак в окрестности этой точки.

Давайте рассмотрим шаги, необходимые для доказательства этой теоремы:

1. Определение предела: Пусть f(x) - функция, и мы знаем, что lim (x → a) f(x) = L, где L ≠ 0. Это означает, что при приближении x к a, значения функции f(x) приближаются к L.
2. Выбор окрестности: Поскольку L ≠ 0, мы можем выбрать δ > 0, такое что |L| > δ. Это значит, что L находится на расстоянии не менее δ от нуля.
3. Определение ε-окрестности: По определению предела, для любого ε > 0 существует δ > 0, такое что если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - L| < ε. Мы можем выбрать ε = |L|/2.
4. Неравенство для f(x): Из условия, что |f(x) - L| < ε, получаем:
   • |f(x) - L| < |L|/2.
5. Сравнение с L: Это неравенство можно переписать как:
   • -|L|/2 < f(x) - L < |L|/2.
6. Переписывание неравенства: Это неравенство можно преобразовать:
   • L - |L|/2 < f(x) < L + |L|/2.
7. Анализ знака: Теперь рассмотрим границы:
   • Левая граница: L - |L|/2 = L/2 (если L > 0) или -L/2 (если L < 0).
   • Правая граница: L + |L|/2 = 3L/2 (если L > 0) или L/2 (если L < 0).

   Таким образом, если L > 0, то f(x) будет больше 0 в окрестности точки a. Если L < 0, то f(x) будет меньше 0 в окрестности точки a.

8. Заключение: Мы доказали, что если lim (x → a) f(x) = L, где L ≠ 0, то функция f(x) сохраняет знак в окрестности точки a. Это и есть утверждение теоремы о знакопостоянстве функции.

Таким образом, мы завершили доказательство теоремы о знакопостоянстве функции, имеющей отличный от нуля предел.