Докажите, что вектор (5;-5) является собственным для матрицы
05
50
Найдите собственное число, отвечающее ему.

Другие предметы Университет Собственные векторы и собственные числа матриц вектор (5;-5) собственное число матрица 05 50 доказательство свойства векторов линейная алгебра университетская математика Новый

Чтобы доказать, что вектор (5; -5) является собственным вектором для данной матрицы, необходимо выполнить несколько шагов.

Дана матрица:

• A = 0 5
• 5 0

Собственный вектор v и собственное число λ связаны следующим уравнением:

A * v = λ * v

Теперь подставим наш вектор v = (5; -5) в это уравнение. Сначала вычислим A * v:

Умножим матрицу A на вектор v:

• A * v = 0 5 * 5
• 5 0 -5

Выполним умножение:

• Первая компонента: 0 * 5 + 5 * (-5) = 0 - 25 = -25
• Вторая компонента: 5 * 5 + 0 * (-5) = 25 + 0 = 25

Таким образом, A * v = (-25; 25).

Теперь запишем уравнение для собственных чисел:

A * v = λ * v

То есть:

(-25; 25) = λ * (5; -5)

Решим это уравнение по компонентам:

• Для первой компоненты: -25 = λ * 5
• Для второй компоненты: 25 = λ * (-5)

Решим первое уравнение:

• λ = -25 / 5 = -5

Теперь проверим второе уравнение:

• λ = 25 / (-5) = -5

Обе компоненты дают одно и то же значение λ = -5.

Таким образом, мы доказали, что вектор (5; -5) является собственным вектором для матрицы A, а собственное число, соответствующее ему, равно -5.