Метод Ньютона является одним из наиболее эффективных численных методов для нахождения корней нелинейных уравнений и систем уравнений. Однако его эффективность действительно зависит от выбора начальных приближений. Давайте разберемся, почему это так.

• Метод Ньютона требует начального приближения, которое должно быть достаточно близким к истинному решению. Если начальное приближение слишком далеко, метод может не сойтись или сойтись к другому, нежелательному решению.
• Близость начального приближения к корню обеспечивает, что итерации метода будут направлены в сторону решения.

• Матрица Якоби представляет собой матрицу первых производных функции, и ее определитель играет ключевую роль в сходимости метода.
• Если определитель матрицы Якоби в точке, близкой к корню, не равен нулю, это означает, что функция ведет себя "адекватно" и у нас есть возможность успешно применить метод Ньютона.
• Если определитель равен нулю, это может указывать на наличие особой точки, в которой метод может потерять свою эффективность.

1. На каждой итерации метод Ньютона обновляет текущее приближение, используя формулу: x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) * f(x_n), где J - матрица Якоби, а f - вектор функций.
2. Если начальное приближение выбрано правильно и определитель не равен нулю, то итерации будут сходиться к решению.
3. В противном случае, если начальное приближение далеко от корня или определитель равен нулю, метод может не сходиться или даже расходиться.

Таким образом, выбор начальных приближений и состояние определителя матрицы Якоби являются критически важными для успешного применения метода Ньютона. Поэтому перед использованием метода всегда стоит анализировать функцию и выбирать подходящие начальные значения для достижения наилучших результатов.