Для того чтобы определить, при каком уровне рыночной цены p фирма будет находиться в состоянии долгосрочного равновесия, необходимо понять, когда фирма максимизирует свою прибыль. В условиях совершенной конкуренции это происходит, когда цена равна предельным издержкам (MC), и фирма покрывает свои средние издержки (AC), то есть P = MC = AC.

Давайте пошагово разберем, как это сделать:

1. Найти предельные издержки (MC):
   • Функция общих издержек: TC(Q) = Q^3 - 10Q^2 + 280Q
   • Предельные издержки (MC) — это производная функции общих издержек по Q: MC = d(TC)/dQ = 3Q^2 - 20Q + 280
2. Найти средние издержки (AC):
   • Средние издержки (AC) — это общие издержки, деленные на количество продукции: AC = TC/Q = (Q^3 - 10Q^2 + 280Q) / Q = Q^2 - 10Q + 280
3. Установить равенство P = MC = AC:
   • При долгосрочном равновесии цена должна быть равна как предельным, так и средним издержкам.
   • Для этого решаем уравнение MC = AC: 3Q^2 - 20Q + 280 = Q^2 - 10Q + 280
   • Упростим уравнение: 3Q^2 - 20Q + 280 = Q^2 - 10Q + 280
   • 3Q^2 - Q^2 - 20Q + 10Q = 0
   • 2Q^2 - 10Q = 0
   • Вынесем за скобки: 2Q(Q - 5) = 0
   • Отсюда Q = 0 или Q = 5
   • Q = 0 не подходит, так как фирма не может производить нулевой объем продукции.
   • Таким образом, Q = 5.
4. Найти цену P:
   • Подставим Q = 5 в уравнение для MC или AC, так как они равны при долгосрочном равновесии.
   • MC = 3(5)^2 - 20(5) + 280 = 75 - 100 + 280 = 255
   • Таким образом, цена P = 255.

Таким образом, фирма будет находиться в состоянии долгосрочного равновесия при уровне рыночной цены р = 255. Ни один из предложенных вариантов (р = 3, 4, 5, 6, 10) не соответствует этому значению, что означает, что в данных условиях при этих ценах фирма не достигнет долгосрочного равновесия.