Формула Грина связывает

• двойной интеграл и тройной интеграл
• дивиргенцию и ротор
• интеграл по плоской области с линейным интегралом второго рода

Другие предметы Университет Теорема Грина Формула Грина двойной интеграл тройной интеграл дивергенция ротор линейный интеграл математический анализ университет Новый

Формула Грина является важным результатом в математическом анализе, который связывает двойной интеграл по области с линейным интегралом по границе этой области. Она может быть рассмотрена как частный случай теоремы Стокса для двумерного случая. Давайте разберем основные моменты, связанные с этой формулой.

1. Определение области и функции:

Рассмотрим плоскую область D в двумерном пространстве, ограниченную простой замкнутой кривой C. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные на области D и на границе C.

2. Формулировка формулы Грина:

Формула Грина может быть записана следующим образом:

∮_C (P dx + Q dy) = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

Где:

• ∮_C (P dx + Q dy) - линейный интеграл по границе области D;
• ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA - двойной интеграл по области D, где ∂Q/∂x и ∂P/∂y - частные производные функций P и Q.

3. Понимание правой части формулы:

Правая часть формулы, ∂Q/∂x - ∂P/∂y, представляет собой дивергенцию векторного поля (P, Q). Это значение показывает, насколько "разбегаются" или "сходятся" векторы в данной области.

4. Понимание левой части формулы:

Левая часть формулы, ∮_C (P dx + Q dy), представляет собой работу векторного поля вдоль границы области D. Это интеграл показывает, как векторное поле взаимодействует с границей области.

5. Применение формулы Грина:

Формула Грина полезна для вычисления интегралов, когда необходимо перейти от интеграла по границе области к интегралу по самой области, что часто упрощает вычисления. Она также широко используется в физике, например, в задачах, связанных с электрическим полем, магнитным полем и гидродинамикой.

6. Пример:

Рассмотрим конкретный пример:

• Пусть P(x, y) = -y и Q(x, y) = x.
• Тогда ∂Q/∂x = 1 и ∂P/∂y = -1.
• Следовательно, ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 1 - (-1) = 2.
• Теперь мы можем вычислить двойной интеграл по области D, а затем сравнить его с линейным интегралом по границе C.

Таким образом, формула Грина служит мощным инструментом для анализа векторных полей и вычисления интегралов, связывая локальные свойства полей с глобальными свойствами областей.