Формула Маклорена для y=e^x с остаточным членом в форме Пеано.

Другие предметы Университет Ряды Тейлора и Маклорена формула Маклорена y=ex остаточный член форма Пеано математический анализ университет Taylor series приближение функции анализ функций математические методы Новый

Формула Маклорена — это способ разложения функции в ряд Тейлора в окрестности нуля. Для функции y = e^x формула Маклорена выглядит следующим образом:

1. Определение разложения:

Функция e^x имеет производные всех порядков, и они равны e^x в любой точке. В частности, в точке x = 0:

• f(0) = e^0 = 1
• f'(0) = e^0 = 1
• f''(0) = e^0 = 1
• f'''(0) = e^0 = 1
• и так далее...

Таким образом, мы можем записать разложение функции e^x в ряд Маклорена:

2. Запись ряда:

Ряд Маклорена для e^x будет выглядеть так:

e^x = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + (x^4/4!) + ...

или в общем виде:

e^x = Σ (x^n/n!) от n=0 до ∞

3. Остаточный член:

Остаточный член в форме Пеано для разложения функции также можно записать. Он показывает, насколько хорошо ряд приближает функцию. Остаточный член R_n(x) для n-го порядка разложения можно выразить как:

R_n(x) = f^(n+1)(c) * (x^(n+1))/( (n+1)!)

где c находится между 0 и x, а f^(n+1)(c) — это (n+1)-я производная функции e^x, которая равна e^c.

4. Полное выражение для остаточного члена:

Таким образом, остаточный член в форме Пеано для функции e^x будет выглядеть следующим образом:

R_n(x) = e^c * (x^(n+1))/( (n+1)!)

где c — некоторый промежуточный элемент между 0 и x.

5. Заключение:

Итак, мы получили разложение функции e^x в ряд Маклорена и выражение для остаточного члена в форме Пеано. Это позволяет оценить, насколько хорошо наш ряд приближает значение функции в данной точке.