Теорема Стокса является одной из ключевых теорем в векторном анализе и связывает интегралы по поверхности и по её границе. Формулировка теоремы звучит следующим образом:

Если S - ориентированная поверхность с границей C, и векторное поле F непрерывно дифференцируемо в области, содержащей S, то:

∮_C F · dr = ∬_S (curl F) · dS

где:

• ∮_C F · dr - это интеграл по замкнутой кривой C (циркуляция векторного поля F по границе поверхности S);
• ∬_S (curl F) · dS - это интеграл по поверхности S, где curl F - ротор векторного поля F, а dS - вектор, перпендикулярный поверхности S.

Физический смысл циркуляции заключается в следующем:

• Циркуляция векторного поля F по замкнутой кривой C представляет собой "сумму" воздействия этого поля вдоль кривой.
• Если рассматривать векторное поле как поле скоростей жидкости, то циркуляция показывает, как много жидкости "крутится" вокруг кривой C.
• Таким образом, теорема Стокса связывает локальные свойства векторного поля (ротор) с глобальными свойствами (циркуляцией) по границе поверхности.

Эта теорема имеет широкое применение в физике, особенно в электродинамике и гидродинамике, так как позволяет переходить от локальных характеристик полей к их интегральным свойствам.