Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство существования ФСР. Нормальная ФСР.

Другие предметы Университет Фундаментальная система решений линейных алгебраических уравнений линейная алгебра аналитическая геометрия ФСР однородная система линейные уравнения доказательство ФСР нормальная ФСР университет математические методы системы уравнений Новый

Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений — это набор векторов, который генерирует все возможные решения этой системы. Давайте рассмотрим, как доказать существование ФСР и понять, что такое нормальная ФСР.

1. Определение однородной системы уравнений

Однородная система линейных уравнений имеет вид:

• A * x = 0,

где A — матрица коэффициентов, x — вектор переменных, и 0 — нулевой вектор. Важно отметить, что однородная система всегда имеет хотя бы одно решение — тривиальное решение, где все переменные равны нулю.

2. Доказательство существования ФСР

Чтобы доказать существование ФСР, рассмотрим следующие шаги:

1. Запишем систему уравнений в матричной форме.
2. Найдем ранг матрицы A и ранг расширенной матрицы, которая включает свободные члены (в нашем случае, это просто нулевой вектор).
3. По теореме о ранге, если ранг матрицы A равен r, то размерность пространства решений (или размерность ядра матрицы A) равна n - r, где n — количество переменных (столбцов в A).
4. Это означает, что существует n - r линейно независимых векторов, которые образуют ФСР для данной системы уравнений.

3. Нормальная ФСР

Нормальная ФСР — это такая система решений, которая дополнительно удовлетворяет определенным условиям, например, имеет определенные длины или направления. Обычно нормальная ФСР выбирается так, чтобы векторы были ортонормированы, то есть:

• Каждый вектор имеет единичную длину.
• Все векторы взаимно перпендикулярны.

Для получения нормальной ФСР можно использовать метод Грамма-Шмидта, который позволяет ортогонализировать набор векторов.

Таким образом, мы показали, что для однородной системы линейных уравнений существует ФСР, и мы также обсудили, что такое нормальная ФСР и как её можно получить. Это знание полезно для дальнейшего изучения линейной алгебры и её приложений.