Чтобы определить, является ли функция f(x, y) = 2xy / (x² + y²) однородной, неоднородной или условной, давайте рассмотрим, что означает каждый из этих терминов.

• Однородная функция - это функция, которая удовлетворяет условию f(tx, ty) = t^k * f(x, y) для некоторого k и любого t.
• Неоднородная функция - это функция, которая не удовлетворяет вышеупомянутому условию.
• Условная функция - это функция, которая имеет ограничения на значения переменных.

Теперь давайте проверим, является ли данная функция однородной. Для этого подставим tx и ty в функцию:

1. Подставляем: f(tx, ty) = 2(tx)(ty) / ((tx)² + (ty)²).
2. Упрощаем: f(tx, ty) = 2t²xy / (t²x² + t²y²) = 2t²xy / (t²(x² + y²)).
3. Теперь можем вынести t²: f(tx, ty) = (2xy / (x² + y²)) * t² = f(x, y) * t².

Мы видим, что f(tx, ty) = t² * f(x, y),что соответствует условию однородной функции с k = 2.

Таким образом, функция f(x, y) = 2xy / (x² + y²) является однородной.