Чтобы правильно заполнить пропуск в предложении "He (to begin) … to sleep well this summer", нужно определить, какая форма глагола "begin" подходит по смыслу и времени.

Давайте рассмотрим возможные варианты:

• will get - "он будет получать", что не подходит по смыслу.
• have been - "он был", что также не соответствует контексту.
• will do - "он будет делать", что не подходит.
• will begin - "он начнет", что подходит по смыслу.

В данном случае, мы ожидаем, что действие начнется в будущем. Таким образом, правильный ответ: will begin.

Полное предложение будет: "He will begin to sleep well this summer." Это означает, что он начнет хорошо спать этим летом.