Интегральный признак Коши.

Другие предметы Университет Интегральные признаки сходимости рядов интегральный признак Коши математический анализ университет теорема Коши сходимость интеграла анализ функций курсовая работа подготовка к экзамену Новый

Интегральный признак Коши является важным инструментом в математическом анализе, особенно в теории сходимости рядов. Этот признак позволяет установить сходимость или расходимость ряда на основе свойств соответствующей функции.

Рассмотрим ряд вида:

Σ a_n, где a_n - положительные члены ряда.

Интегральный признак Коши утверждает следующее:

Если функция f(x) является положительной, монотонно убывающей и непрерывной на интервале [1, ∞), и если a_n = f(n), то ряд Σ a_n сходится тогда и только тогда, когда интеграл от f(x) на этом же интервале сходится:

∫(1, ∞) f(x) dx

Теперь давайте рассмотрим шаги, которые нужно выполнить для применения интегрального признака Коши:

1. Определите члены ряда: Убедитесь, что члены ряда a_n положительные. Это необходимо для применения интегрального признака.
2. Выберите подходящую функцию: Найдите функцию f(x), которая соответствует членам ряда a_n, то есть a_n = f(n).
3. Проверьте свойства функции: Убедитесь, что функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на интервале [1, ∞).
4. Вычислите интеграл: Найдите интеграл ∫(1, ∞) f(x) dx. Это может потребовать применения различных методов интегрирования.
5. Сравните результаты: Если интеграл сходится, то ряд Σ a_n также сходится. Если интеграл расходится, то ряд Σ a_n также расходится.

Пример:

Рассмотрим ряд Σ (1/n^2). Здесь a_n = 1/n^2 и соответствующая функция f(x) = 1/x^2.

• 1. Члены ряда положительные: 1/n^2 > 0 для n ≥ 1.
• 2. Функция f(x) = 1/x^2 соответствует членам ряда.
• 3. Функция f(x) положительна, непрерывна и монотонно убывает на [1, ∞).
• 4. Вычисляем интеграл: ∫(1, ∞) (1/x^2) dx = 1.
• 5. Интеграл сходится, следовательно, ряд Σ (1/n^2) также сходится.

Таким образом, интегральный признак Коши позволяет нам установить сходимость ряда, используя свойства соответствующей функции и вычисление интеграла.