Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что некое событие наступит от 269 до 354 раз в 485 испытаниях, если вероятность появления этого события при одном испытании равна 0.2.

Другие предметы Университет Интегральные теоремы и приближения для биномиального распределения теория вероятностей математическая статистика интегральная теорема Муавра-Лапласа вероятность события испытания вероятность появления события статистические методы учебный курс университетская программа анализ данных Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа, которая позволяет приближенно вычислять вероятности для биномиального распределения с большим числом испытаний.

В нашем случае, у нас есть:

• n = 485 (общее количество испытаний)
• p = 0.2 (вероятность успеха при одном испытании)
• k1 = 269 (нижняя граница числа успехов)
• k2 = 354 (верхняя граница числа успехов)

Сначала мы находим математическое ожидание (M) и стандартное отклонение (σ) биномиального распределения:

• M = n * p = 485 * 0.2 = 97
• σ = sqrt(n * p * (1 - p)) = sqrt(485 * 0.2 * 0.8) ≈ sqrt(77.6) ≈ 8.81

Теперь мы можем перейти к стандартизации значений k1 и k2, чтобы использовать нормальное распределение. Стандартизируем k1 и k2 по формуле:

• Z = (X - M) / σ

Теперь найдем Z для k1 и k2:

• Z1 = (269 - 97) / 8.81 ≈ 19.5
• Z2 = (354 - 97) / 8.81 ≈ 29.1

Теперь мы можем использовать стандартную нормальную таблицу для нахождения вероятностей для Z1 и Z2. Однако, как видно, значения Z1 и Z2 очень велики, что указывает на то, что вероятность того, что событие наступит от 269 до 354 раз, будет крайне мала.

Согласно свойствам нормального распределения, вероятность того, что Z будет больше 19.5 или 29.1, стремится к нулю. Таким образом, мы можем заключить:

Вероятность того, что событие наступит от 269 до 354 раз в 485 испытаниях, равна практически 0.