К тросу диаметром d = 10 мм подвешена клеть шахтного подъемника весом 100 кг. Длина троса, нагруженного лишь весом самой клети, равна 100 м; его длина, когда клеть загружена еще 400 кг руды, на 3 см больше. Определить модуль упругости троса.

• 3,2×10^5 кг/см^2
• 1,7×10^6 кг/см^2
• 4,4×10^6 кг/см^2
• 2,5×10^7 кг/см^2

Другие предметы Университет Упругость материалов техническая механика модуль упругости трос вес клеть шахтный подъемник нагрузка длина троса расчет механики университетская задача физика материалов Новый

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон Гука и формулу для растяжения стержня. Мы будем следовать пошагово.

Шаг 1: Определение сил, действующих на трос.

• Вес клеть: W1 = 100 кг = 1000 Н (учитывая, что 1 кг = 10 Н).
• Вес руды: W2 = 400 кг = 4000 Н.
• Общая нагрузка на трос при заполненной клети: W = W1 + W2 = 1000 Н + 4000 Н = 5000 Н.

Шаг 2: Определение изменения длины троса.

• Начальная длина троса: L0 = 100 м.
• Конечная длина троса: L = 100 м + 3 см = 100 м + 0,03 м = 100,03 м.
• Изменение длины троса: ΔL = L - L0 = 100,03 м - 100 м = 0,03 м.

Шаг 3: Определение площади поперечного сечения троса.

• Диаметр троса: d = 10 мм = 0,01 м.
• Площадь поперечного сечения: A = π * (d/2)² = π * (0,01/2)² = π * (0,005)² = π * 0,000025 ≈ 7,85 * 10^(-5) м².

Шаг 4: Применение формулы для растяжения стержня.

Согласно закону Гука, растяжение стержня можно выразить через модуль упругости:

ΔL = (F * L0) / (E * A),

где:

• ΔL - изменение длины троса;
• F - сила, действующая на трос;
• L0 - начальная длина троса;
• E - модуль упругости;
• A - площадь поперечного сечения троса.

Шаг 5: Подстановка значений и решение уравнения.

Перепишем формулу для модуля упругости:

E = (F * L0) / (ΔL * A).

Теперь подставим известные значения:

• F = 5000 Н;
• L0 = 100 м;
• ΔL = 0,03 м;
• A ≈ 7,85 * 10^(-5) м².

Теперь подставим эти значения в формулу:

E = (5000 Н * 100 м) / (0,03 м * 7,85 * 10^(-5) м²).

Вычислим числитель:

5000 Н * 100 м = 500000 Н·м.

Теперь вычислим знаменатель:

0,03 м * 7,85 * 10^(-5) м² ≈ 2,355 * 10^(-6) м³.

Теперь подставим в формулу:

E ≈ 500000 / (2,355 * 10^(-6)) ≈ 2,12 * 10^8 Н/м².

Так как 1 Н/м² = 0,00001 кг/см², то:

E ≈ 2,12 * 10^8 Н/м² * 0,00001 ≈ 2,12 * 10^3 кг/см².

Таким образом, модуль упругости троса составляет примерно 2,12 * 10^7 кг/см².

Ответ: 2,5 × 10^7 кг/см² является наиболее близким к нашему расчету.