Как можно вычислить определитель Гурвица и определить устойчивость системы автоматического управления (САУ) на основе ее характеристического уравнения 0,1p4+0,5p³+p²+5p+10=0?

Другие предметы Университет Устойчивость систем автоматического управления определитель Гурвица устойчивость системы характеристическое уравнение система автоматического управления вычисление определителя методы анализа устойчивости Новый

Чтобы вычислить определитель Гурвица и определить устойчивость системы автоматического управления (САУ) на основе ее характеристического уравнения, следуйте этим шагам:

1. Запишите характеристическое уравнение:

   У нас есть характеристическое уравнение:

   0,1p⁴ + 0,5p³ + p² + 5p + 10 = 0

2. Приведите уравнение к стандартному виду:

   Для удобства можно умножить все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

   p⁴ + 5p³ + 10p² + 50p + 100 = 0

3. Составьте матрицу Гурвица:

   Матрица Гурвица для четвертого порядка имеет следующий вид:

   • 1 10 100
   • 5 50 0
   • 0 0 0
   • 0 0 0

   Матрица будет выглядеть так:

   • 1 10 100
   • 5 50 0
   • 0 0 0
   • 0 0 0
4. Вычислите определитель главных миноров:

   Определители главных миноров матрицы Гурвица:

   1. Первый минор (1x1): 1
   2. Второй минор (2x2):

      Определитель: 1 * 50 - 5 * 10 = 50 - 50 = 0

   3. Третий минор (3x3):

      Определитель: 1 * (50 * 100 - 0 * 10) - 10 * (5 * 100 - 0 * 0) + 100 * (5 * 0 - 0 * 0) = 5000 - 1000 + 0 = 4000

   4. Четвертый минор (4x4):

      Определитель матрицы Гурвица равен 0, так как второй минор равен 0.

5. Определите устойчивость системы:

   Система будет устойчивой, если все главные миноры положительны. В нашем случае:

   • Первый минор: 1 (положительный)
   • Второй минор: 0 (не положительный)
   • Третий минор: 4000 (положительный)

   Так как второй минор равен 0, это означает, что система не является устойчивой.

Таким образом, определитель Гурвица показывает, что система автоматического управления неустойчива, так как один из главных миноров оказался не положительным.