Как представляется функция u(x, y) в уравнении Пуассона при решении его конечно-разностным методом?

• значениями в узлах прямоугольной сетки
• плотностью заряда
• новой переменной

Другие предметы Университет Численные методы решения уравнений в частных производных компьютерное моделирование финансовые задачи университет уравнение Пуассона конечно-разностный метод функция u(x y) прямоугольная сетка плотность заряда переменная численные методы Новый

При решении уравнения Пуассона с помощью конечно-разностного метода функция u(x, y) представляется в виде значений в узлах прямоугольной сетки. Давайте разберем, как это происходит шаг за шагом.

1. Определение сетки:

   Сначала мы создаем прямоугольную сетку, разбивая область, в которой мы решаем уравнение, на узлы. Пусть у нас есть область с координатами (x_min, x_max) и (y_min, y_max). Мы выбираем шаг по x и y, обозначаем их как h_x и h_y.

2. Узлы сетки:

   На основе выбранных шагов мы можем определить координаты узлов:

   • x_i = x_min + i * h_x, где i = 0, 1, ..., N_x
   • y_j = y_min + j * h_y, где j = 0, 1, ..., N_y
3. Значения функции:

   Функция u(x, y) будет представлена как значение в каждом узле сетки:

   • u_ij = u(x_i, y_j)

   где u_ij - значение функции в узле с координатами (x_i, y_j).

4. Разностные аппроксимации:

   Чтобы выразить уравнение Пуассона через значения функции в узлах, мы применяем конечно-разностные аппроксимации. Например, для второго производного по x можно использовать следующие разности:

   • u_xx ≈ (u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}) / (h_x^2)
   • u_yy ≈ (u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}) / (h_y^2)

   Таким образом, уравнение Пуассона в дискретной форме будет выглядеть так:

   u_xx + u_yy = -ρ(x_i, y_j),

   где ρ - это плотность заряда, представленная в узлах сетки.

5. Система уравнений:

   После применения разностных аппроксимаций мы получаем систему линейных уравнений, которую можно решить с помощью различных численных методов, таких как метод Гаусса или итерационные методы.

Таким образом, функция u(x, y) представляется в узлах прямоугольной сетки, и мы используем конечно-разностные аппроксимации для преобразования уравнения Пуассона в систему линейных уравнений, которую можно решить численно.