Чтобы определить, какие из предложенных равенств справедливы для всех множеств A, B и C, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. (AB)C = A(BC)

   Это равенство не всегда справедливо. Например, если A = {1}, B = {2}, C = {3}, то (AB)C = {1, 2}3 = {1, 2, 3}, а A(BC) = {1}{2, 3}= {1, 2, 3}. В этом случае равенство выполняется, но для других множеств оно может не выполняться.

2. (AB) U (AIC) = A(BUC)

   Это равенство также не всегда справедливо. Например, пусть A = {1}, B = {2}, C = {3}. Тогда (AB) U (AIC) = ({1, 2}U {1, 3}) = {1, 2, 3}, а A(BUC) = {1}{2, 3}= {1, 2, 3}. В этом случае равенство выполняется, но для других множеств оно может не выполняться.

3. An(BIC) = (AnB)C

   Это равенство также не всегда справедливо. Например, пусть A = {1, 2}, B = {2}, C = {3}. Тогда An(BIC) = {1, 2}∩ ({2}∩ {3}) = {1, 2}∩ {}= {}, а (AnB)C = ({1, 2}∩ {2})C = {2}C = {2, 3}. Здесь равенство не выполняется.

4. (AB) U (AC) = A(BnC)

   Это равенство действительно справедливо для всех множеств. Это можно показать с использованием свойств объединения и пересечения множеств. Если x принадлежит (AB) U (AC),то x принадлежит либо AB, либо AC. Это означает, что x принадлежит A и либо B, либо C, что соответствует A(BnC).

5. AnB = A(BnC)

   Это равенство не всегда справедливо. Например, пусть A = {1, 2}, B = {2}, C = {3}. Тогда AnB = {2}, а A(BnC) = {1, 2}({2}∩ {3}) = {1, 2}∩ {}= {}. Здесь равенство не выполняется.

6. (AB) U (AC) = A(BnC)

   Это равенство верно, как уже упоминалось ранее. Оно справедливо для всех множеств A, B и C.

Таким образом, единственное равенство, которое всегда справедливо для всех множеств A, B и C, это:

• (AB) U (AC) = A(BnC)