Каноническое ур-е гиперболоида. Исследование формы поверхности методом сечения.

Другие предметы Университет Гиперболоид и его свойства каноническое уравнение гиперболоида исследование поверхности метод сечения линейная алгебра аналитическая геометрия университетские курсы геометрические свойства гиперболоида Новый

Гиперболоид - это поверхность второго порядка, которая может быть двух видов: однополостной и двуполостной. Для начала рассмотрим каноническое уравнение гиперболоида.

Каноническое уравнение гиперболоида:

• Однополостной гиперболоид: x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
• Двуполостной гиперболоид: -x²/a² - y²/b² + z²/c² = 1

Где a, b и c - положительные числа, определяющие размеры гиперболоида.

Теперь давайте исследуем форму поверхности гиперболоида методом сечения. Это означает, что мы будем рассматривать, как выглядит гиперболоид при пересечении его плоскостью.

Шаги исследования формы гиперболоида методом сечения:

1. Выбор плоскости сечения: Выберите плоскость, которая будет пересекать гиперболоид. Например, это может быть плоскость z = k, где k - произвольное число.
2. Подстановка уравнения плоскости в уравнение гиперболоида: Для однополостного гиперболоида подставим z = k в уравнение:
• x²/a² + y²/b² - k²/c² = 1
3. Приведение уравнения к стандартному виду: Упростим уравнение:
• x²/a² + y²/b² = 1 + k²/c²
4. Анализ полученного уравнения: Уравнение x²/a² + y²/b² = d (где d = 1 + k²/c²) является уравнением эллипса, если d > 0. Таким образом, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z = k дает эллипс.
5. Аналогичный процесс для двуполостного гиперболоида: Подставим z = k в уравнение двуполостного гиперболоида:
• -x²/a² - y²/b² + k²/c² = 1
6. Упрощение: Приведем уравнение к стандартному виду:
• x²/a² + y²/b² = k²/c² - 1
7. Анализ: Уравнение x²/a² + y²/b² = d (где d = k²/c² - 1) является уравнением эллипса, если d > 0, и не имеет решений, если d < 0. Таким образом, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z = k дает эллипс или не имеет решений в зависимости от значения k.

Вывод: Исследование формы гиперболоида методом сечения показывает, что сечения однополостного гиперболоида всегда являются эллипсами, а сечения двуполостного гиперболоида могут быть эллипсами или не существовать в зависимости от положения плоскости сечения.